ค่าคงที่ในคณิตศาสตร์ที่เป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางนอกจากค่า Pi (Π) ซึ่งคืออัตราส่วนระหว่าง เส้นรอบรูปวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน (มีค่าประมาณ 3.14159265) แล้ว ยังมีค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์อีกตัวนึงที่มีความสำคัญอย่างมากนั่นก็คือ ค่า e ที่เป็นค่าคงที่ซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818 ในบทความนี้ผมจะขอพูดถึงเรื่องของค่า e ครับ

ที่มาของค่า e

ค่า e ถูกค้นพบอย่างเป็นทางการโดย Jacob Bernoulli จากการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้นทบดอก จนได้ค่า e ว่าคือ

การคิดดอกเบี้ยทบต้นทบดอก

  • ถ้า สมมติว่า เราออกเงินกู้ 1 ล้านบาท คิดดอกเบี้ย 100% / ปี
  • ถ้า period ของการคิดดอกเบี้ย คือ 1 ปี เราก็จะได้เงินคืนมาเป็น = 1 ล้านบาท ×(1+100%/1)^1
    =1 ล้านบาท ×(1+1/1)^1 = 2 ล้านบาท
  • ถ้า period ในการคิดดอกเบี้ย คือ ครึ่งปี (นั่นคือ 50%/period 2 ครั้ง)  = 1 ล้านบาท ×(1+100%/2)^2
    = 1 ล้านบาท ×(1+1/2)^2 = 2.25  ล้านบาท
  • ถ้า period ในการคิดดอกเบี้ย คือ ทุก 3 เดือน (นั่นคือ 25%/period 4 ครั้ง) = 1 ล้านบาท ×(1+100%/4)^4
    = 1 ล้านบาท ×(1+1/4)^4 = 2.4414  ล้านบาท
  • ที่นี้ถ้า period สั้นลงเรื่อยๆ (คิดทุกมิลลิวินาที เป็นต้น) จนจำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยเป็นอนันต์ครั้ง สุดท้าย เราจะได้เงินเป็น 2.7182818 ล้านบาท หรือ 2.7182818 เท่าของเงินต้น หรือ e เท่าของเงินต้นนั่นเองครับ !!

ถ้าจะพูดใน r ทั่วๆไปที่ไม่ใช่ 100% : ถ้าเรา compound แบบถี่สุดๆ จะได้ FV   =   PV * e^Yr ครับ

โดยที่ PV คือเงินต้น, FV คือมูลค่าของเงินในอนาคตเมื่อผ่านไป Y ปี , r = ดอกเบี้ยต่อปี(quote rate) Y = จำนวนปีที่คิดดอกเบี้ย
เช่น ถ้าเป็นกรณีข้างบน จะได้ว่า FV   =  1 * e^1*1.00 = e ล้านบาทครับ

ตัวอย่างความสวยงามของค่า e (ที่ดูเหมือนจะแค่เป็นเลขที่ดูน่าเกลียด)

  • ค่า e ถูกนำไปใช้ในเรื่องความน่าจะเป็นได้ด้วย เช่น ถ้านักพนันมีโอกาส 1 ใน n ในการชนะพนัน แล้วเค้าพนันไป n ครั้ง
    ถ้า n มีค่ามากพอ (เช่นเป็นล้านครั้ง) เค้าจะมีโอกาสที่ไม่ชนะอะไรเลย อยู่ประมาณ 1/e ครับ
    ตัวอย่าง : สมมติว่าการโยก Slot มีโอกาสชนะ Jackpot อยู่ 1 ในล้าน ถึงคุณโยก Slot นี้ไปล้านครั้ง คุณก็จะยังมีโอกาสที่ไม่ถูก Jackpotเลยอยู่ประมาณ 1/e หรือ 0.368 หรือประมาณ 36.8% เลยนะครับ!!
  • ในเรื่องความน่าจะเป็นอีกอันคือการนำไปใช้กับปัญหาเรื่อง derangements หรือ hat check problem ครับ ยกตัวอย่างเช่น มีแขก n คนมาร่วมงานปาร์ตี้ในผับแห่งหนึ่งแล้วต้องฝากหมวกไว้ที่เจ้าหน้าที่สาวสวย แต่ด้วยสาเหตุอะไรไม่ทราบทำให้สาวบริกรไม่รู้ว่าหมวกอันไหนเป็นของใครกันแน่!! ถามว่ามีความน่าจะเป็นเท่าไหร่ที่บริกรสาวสวยจะคืนหมวกไม่ถุกเลยซักใบ เมื่อ n เยอะมากๆ (เข้าใกล้อนันต์) จะได้ว่า โอกาสที่ว่า คือ 1/e เช่นกันครับ !!
  • ในวิชา Calculus นั้น แม้เราจะ diff e^xไปกี่รอบ มันก็ได้ค่าออกมาเป็น e^x อยู่เช่นเดิมเรื่อยไป
  • ถ้า เรา diff ln x จะได้ 1/x
  • ค่า e^x สามารถแตกออกมาเป็น Polynomial ตามการประมาณค่าฟังก์ชั่นของ Maclaurin series ไม่ก็วิธีของ Taylor ได้ดังนี้
  • ถ้าแทน x=1 ในสมการข้างบน
  • แต่ที่สวยงามที่สุด คือค่า e เป็นส่วนประกอบของสมการออยเลอร์ ซึ่งเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ที่สวยงามมากๆ ครับค่า e เป็นหนึ่งในตัวเลขที่น่าพิศวงในวงการคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับค่า 0, 1, π  and i (ตัวเลขจินตภาพ)แต่สมการออยเลอร์ สามารถรวมความพิศวงทั้งหมดมาไว้ด้วยกันได้ว่า ซึ่งถ้าแทน x ด้วย Π (pi) จะได้สุดยอดสมการที่ว่า และเมื่อย้ายข้างอีกที ความสวยงามที่สุดก็บังเกิด


ซึ่งเป็นการค้นพบความสัมพันธ์ที่สุดยอดไปเลยครับ!!

Tagged on: