Knowledge Sharing by Sira Ekabut ทบทวน MBA / ความคิดสร้างสรรค์ / ค้นหาตัวเอง

Probability in Statistics ความน่าจะเป็นในวิชาสถิติ

Probability (ความน่าจะเป็น) = ค่าที่บอกให้รู้ว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจจะมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยแค่ไหน จะเห็นได้ว่ามันทำให้เราตัดสินใจได้แม่นยำขึ้น การที่เราจะเข้าใจเรื่องความน่าจะเป็นนั้นเราจะต้องทำความรู้จักของส่วนประกอบของมันก่อน นั่นก็คือ

• Sample Space = กลุ่มของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองแบบสุ่ม (ไม่สามารถรู้ล่วงหน้าว่าผลจะออกมาแบบไหน) เช่น การโยนลูกเต๋า 1 ครั้งจะมี Sample space 6 อัน ดังนี้  S={1,2,3,4,5,6}
• Event = กลุ่มของเหตุการณ์ที่เราสนใจ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของแซมเปิลสเปซ เช่น ให้ E คือการโยนลูกเต๋าที่ออกแต้มคู่  จะได้ว่ามี 3 แบบ คือ E={2,4,6}

ซึ่ง ความน่าจะเป็นนั้น = จำนวนของ Event / จำนวนของ Sample Space มี ค่าตั้งแต่ 0 ถึง +1 (ไม่มีโอกาสเกิดเลย ถึง เกิดขึ้นทุกครั้ง) โดย

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เราจะเขียนว่า P(A) เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ที่โยนลูกเต๋าได้แต้มคู่ จะได้ว่า P(E)= 3/6 = 0.5

Random Variable (ตัวแปรสุ่ม)

Random Variable คือ การเปลี่ยนเหตุการณ์ต่างๆ ที่เราสนใจให้กลายเป็นตัวเลข โดยทั่วไปจะใช้ภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนสัญลักษณ์ของ ตัวแปรสุ่ม และจะใช้ภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก แทนแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม

Random Variable มีอยู่ 2 ประเภท คือ

• Discrete random variable = เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงค่าเป็นตัวเลข เป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องกัน แซมเปิลสเปซมีสมาชิกเป็นจำนวนที่นับได้  เช่น ให้ X : จำนวนผู้บริโภคที่พอใจสินค้า จากการสุ่มสอบถามผู้บริโภค 10 คน ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X คือ x = 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (จะเห็นว่าสามารถนับเป็นชิ้นๆได้ )
• Continuous random variable = เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงค่าเป็นตัวเลข เป็นค่าที่ต่อเนื่องกัน แซมเปิลสเปซมีสมาชิกเป็นจำนวนที่นับไม่ได้ และมี Range เป็นช่วง   เช่น  ความสูง น้ำหนัก อุณหภูมิ ช่วงเวลา ตัวอย่างเช่น ให้ Y : ปริมาณของยาฆ่าแมลงที่ตกค้างในผัก ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม Y คือ y ≥ 0 (จะเห็นว่านับไม่ได้)

Probability Distribution (การแจกแจงความน่าจะเป็น)

Probability Distribution เป็นการทำให้เราเห็นภาพรวมถึงค่าของตัวแปรสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมด และสามารถหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจได้อีกด้วย โดยแบ่งออกเป็น  2 ประเภทใหญ่ๆ คือ Discrete Distributions และ Continuous Distributions

Discrete Distributions

เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่นับเป็นชิ้นๆ ได้ ไม่ได้มีความต่อเนื่องกันจนแยกเป็นชิ้นไม่ได้ ซึ่งการที่เราเข้าใจ Distribution แบบนี้แล้ว จะทำให้เห็นที่มาที่ไปของ Distribution แบบ Continuous ที่เกิดขึ้นมากที่สุดในโลกที่มีชื่อว่า Normal Distribution ได้ด้วย

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบ Discrete ที่ผมจะขอพูดถึงมี 3 อัน คือ Bernoulli Distribution, Binomial Distribution, และ Poisson Distribution

Bernoulli Distribution

• คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีผลลัพธ์ 2 แบบ คือ สำเร็จ (จริง) และ ล้มเหลว(เท็จ) โดยมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ P และล้มเหลวคือ Q หรือ (1-P)
• มีค่า Mean = E(X)=P
• มี Variance = var(X)= P*(1-P)
• ตัวอย่างเช่น การโยนเหรียญ 1 ครั้ง
• 

Binomial Distribution

• เป็นการทดสอบ Binomial Experiment หรือ Bernoulli trial โดยทำซ้ำๆ กัน n ครั้ง
• แต่ละครั้งมีผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ สำเร็จ และ ล้มเหลว ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ ในการทดลองแต่ละครั้งเท่ากัน คือ P
• การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน (Independent) นั่นคือเราไม่สามารถคาดเดาผลการทดลองครั้งต่อไปได้จากผลที่เกิดขึ้นในปัจจุบันหรือในอดีต
• ตัวอย่างเช่น การโยนเหรียญ 10 ครั้ง แล้วดูว่าสำเร็จกี่ครั้ง
• ดังนั้น Binomial Distribution เป็นการแจกแจงของจำนวนครั้งที่เกิดความสำเร็จ (X) ในการทดลอง Bernoulli trial ทั้งหมด n ครั้ง
• มีค่า Mean คือ n*P
• มีค่า Variance คือ n * P * ( 1 - P )
• Binomial Probability คือ ความน่าจะเป็นที่ความสำเร็จจำนวน X ครั้งจะเกิดขึ้น มีดังนี้ b(x; n, P) = _nC_x * P^x * (1 - P)^{n - x}
• สมมติว่าทอยลูกเต๋า 5 ครั้ง โอกาสที่จะได้เลข 4 โผล่มา 2 ครั้งคือเท่าไหร่?
• มีการทดลอง 5 ครั้ง n= 5
• จำนวนครั้งที่สำเร็จ X=2
• โอกาสที่จพสำเร็จได้แต่ละครั้ง = 1/6 = 0.167
• b(2; 5, 0.167) = ₅C₂ * (0.167)^² * (0.833)^³
• b(2; 5, 0.167) = 0.161
• รูปตัวอย่าง Binomial Distribution
• 

Poisson Distribution

เป็นการแจกแจงจำนวนครั้งของความสำเร็จที่เกิดขึ้น (X) ภายในขอบเขตหรือระยะเวลาที่กำหนด โดยมีจำนวนครั้งของความสำเร็จโดยเฉลี่ยภายในขอบเขตหรือระยะเวลาที่กำหนดดังกล่าว เท่ากับ μ

• มี Mean = μ
• มี Variance = μ
• Poisson Probability หรือความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จ x ครั้งเป๊ะๆ ในเวลาที่กำหนดมีดังนี้ P(x; μ) = (e^-μ) (μ^x) / x!
• เช่น ปกติโดยเฉลี่ยแล้วบริษัทจะขายรถได้ 2 คัน ใน 1 วัน ถามว่าความน่าจะเป็นที่จะขายรถได้ 3 วันเป๊ะๆ ในวันพรุ่งนี้เป็นเท่าไหร่?
• P(x; μ) = (e^^-μ) (μ^^x) / x!
  P(3; 2) = (2.71828^^-2) (2^³) / 3!
  P(3; 2) = (0.13534) (8) / 6
  P(3; 2) = 0.180
• รูปตัวอย่าง Poisson Distribution

ตอนต่อไป เราจะมาดูเรื่อง Continuous Distributions กันครับ ซึ่งเหตุการณ์จะถูกแทนด้วยช่วงของข้อมูลที่มีความต่อเนื่อง และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะเท่ากับพื้นที่ใต้กราฟของช่วงนั้น